Cuantización de Airy para operadores de Schrödinger en la semirrecta con condiciones de frontera mixtas y potenciales lineales perturbados

Resumen

En este trabajo se desarrolla un marco espectral autoadjunto para operadores de Schrödinger definidos en la semirrecta con potencial lineal y condiciones de frontera mixtas dentro del contexto de las funciones de Airy. Se construye la realización autoadjunta correspondiente y se demuestra que es semidefinida inferiormente y posee resolvente compacto, por lo que su espectro es puramente discreto. En este marco se obtiene una ley de cuantización unificada para las condiciones de frontera de Dirichlet, Neumann y Robin, y se establecen la simplicidad del espectro mixto, la ortogonalidad de las funciones propias, el entrelazamiento de las raíces positivas y fórmulas cerradas de normalización. Se obtiene, además, la asintótica de Weyl de los autovalores mixtos positivos y se identifica el parámetro de Robin crítico ρc=−Ai′(0)/Ai(0), que separa un espectro estrictamente positivo de la aparición de exactamente un autovalor negativo. Asimismo, se analiza la influencia de la condición de frontera sobre la distribución espectral y la localización espacial de las funciones propias normalizadas. Para operadores perturbados de la forma Fx+εW(x), con W∈L∞(0,∞), se obtienen expresiones explícitas de primer orden para las correcciones de los autovalores y las funciones propias mediante integrales que involucran funciones de Airy. Como aplicaciones ilustrativas se consideran perturbaciones acotadas con decaimiento exponencial y racional; los valores numéricos para ρ=0 y ρ=0.5 muestran que la perturbación racional produce correcciones mayores. El análisis muestra que la interacción de frontera controla por sí sola los niveles de energía y la localización espacial de los estados ligados, mientras que el comportamiento confinante del potencial lineal preserva la discreción del espectro bajo perturbaciones acotadas. En conjunto, los resultados proporcionan un marco analítico unificado que conecta la teoría espectral de operadores autoadjuntos, las funciones especiales de Airy y los modelos cuánticos unidimensionales con interacciones de frontera.